الجبر الأمثلة

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$

Step 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1$

Step 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

Step 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Step 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 11 \cdot 1 + 23 (1) - 35$

اضرب $11$ في $1$ .

$1 + 11 + 23 (1) - 35$

اضرب $23$ في $1$ .

$1 + 11 + 23 - 35$

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $1$ و $11$ .

$12 + 23 - 35$

أضف $12$ و $23$ .

$35 - 35$

اطرح $35$ من $35$ .

$0$

Step 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Step 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

	$1$

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(11)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$	$12$

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(12)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(12)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(23)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$	$35$

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(35)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(35)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 35)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$	$0$

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + 12 x + 35$

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} + 12 x + 35$

Step 7

حلّل $x^{2} + 12 x + 35$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $35$ ومجموعهما $12$ .

$5, 7$

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 7)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 7)$

Step 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

حلّل $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7 q = \pm 1$

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 11 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 35$

اضرب $11$ في $1$ .

$1 + 11 + 23 \cdot 1 - 35$

أضف $1$ و $11$ .

$12 + 23 \cdot 1 - 35$

اضرب $23$ في $1$ .

$12 + 23 - 35$

أضف $12$ و $23$ .

$35 - 35$

اطرح $35$ من $35$ .

$0$

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

اقسِم $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$23 x$

$35$

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $12 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $12 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $35 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							+	$35 x$	-	$35$

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $35 x - 35$

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$
										$0$

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 12 x + 35$

اكتب $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

حلّل $x^{2} + 12 x + 35$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

حلّل $x^{2} + 12 x + 35$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

$5, 7$

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) ((x + 5) (x + 7)) = 0$

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$

Step 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Step 10

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

Step 11

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

Step 12

عيّن قيمة العبارة $x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 7 = 0$

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$x = - 7$

Step 13

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 5, - 7$

Step 14