الجبر الأمثلة

$\ln (2 x)$

Step 1

بادِل المتغيرات.

$x = \ln (2 y)$

Step 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (2 y) = x$ .

$\ln (2 y) = x$

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (2 y)} = e^{x}$

أعِد كتابة $\ln (2 y) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 2 y$

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y = e^{x}$ .

$2 y = e^{x}$

اقسِم كل حد في $2 y = e^{x}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 y = e^{x}$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$

Step 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ هي معكوس $f (x) = \ln (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

احسِب قيمة $f^{- 1} (\ln (2 x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = x$

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

احسِب قيمة $f (\frac{e^{x}}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (e^{x})$

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \ln (e)$

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \cdot 1$

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x$

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ هي معكوس $f (x) = \ln (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$