三角学示例

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

解题步骤 1

对等式两边进行平方。

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2

化简 ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ 重写为 $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ 。

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.3

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4

乘以 $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.2

重新排序 $25 \sin (t) \cos (t)$ 的因式。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.3

将 $25 \cos (t) \sin (t)$ 和 $25 \cos (t) \sin (t)$ 相加。

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.4.1

移动 $25 \cos^{2} (t)$ 。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.4.2

从 $25 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $25$ 。

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.4.3

从 $25 \cos^{2} (t)$ 中分解出因数 $25$ 。

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.4.4

从 $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ 中分解出因数 $25$ 。

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.5

使用勾股恒等式。

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 2.6

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

解题步骤 3

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

解题步骤 4

将所有不包含 $t$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $25$ 。

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

解题步骤 4.2

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

解题步骤 6

将 $\cos (t)$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (t)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (t) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $t$ 的 $\cos (t) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$t = \arccos (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$t = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$t = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$t = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.5

求 $\cos (t)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.6

$\cos (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\sin (t)$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sin (t)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (t) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $t$ 的 $\sin (t) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (0)$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 7.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$t = π - 0$

解题步骤 7.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$t = π$

解题步骤 7.2.5

求 $\sin (t)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.2.6

$\sin (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ 成立的所有值。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$t = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

将每一个解代入 $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ 并求解从而对其进行验证。

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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