三角学示例

$\sqrt{3} \csc (θ) - 2 = 0$ , $[0, 2 π)$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\sqrt{3} \csc (θ) = 2$

解题步骤 2

将 $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ 中的每一项除以 $\sqrt{3}$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ 中的每一项都除以 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\csc (θ)$ 除以 $1$ 。

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.3.2.6.5

计算指数。

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

取等式两边的反余割以从余割中提出 $θ$ 。

$θ = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

$arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 5

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - \frac{π}{3}$

解题步骤 6

化简 $π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 6.3.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7

求 $\csc (θ)$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8

$\csc (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

求在区间 $[0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 9.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

解题步骤 9.1.2

化简。

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解题步骤 9.1.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.1.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{3} + 0 π$

解题步骤 9.1.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{π}{3} + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $\frac{π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{3}$

解题步骤 9.1.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

解题步骤 9.2.2

化简。

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解题步骤 9.2.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

解题步骤 9.2.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{2 π}{3} + 0$

解题步骤 9.2.2.2

将 $\frac{2 π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.2.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{2 π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

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