三角学示例

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $2 (1 - \sin^{2} (x))$ 替换 $2 \cos^{2} (x)$ 。

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

解题步骤 5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.1

从 $- 2 u^{2} - u + 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $- 2 u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

解题步骤 5.1.2

从 $- u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

解题步骤 5.1.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.1.4

从 $- (2 u^{2}) - u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.1.5

从 $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

解题步骤 5.2

因数。

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解题步骤 5.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.1.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

解题步骤 5.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

解题步骤 5.2.2

去掉多余的括号。

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 7

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $u$ 的 $2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 7.2.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 8

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 9

最终解为使 $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 10

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 11

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 12

在 $\sin (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 12.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 12.4

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 12.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 12.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

在 $\sin (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 13.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 13.4.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 13.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 13.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 13.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 13.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.6.3

合并分数。

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解题步骤 13.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 13.6.4

化简分子。

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解题步骤 13.6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 13.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 13.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 13.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

合并答案。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

求在区间 $[0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 16.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 16.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

解题步骤 16.1.2

化简。

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解题步骤 16.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.2.1.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.2.1.1.1

从 $2 π (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

解题步骤 16.1.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 16.1.2.1.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

解题步骤 16.1.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 16.1.2.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

解题步骤 16.1.2.1.1.2.4

用 $2 π \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

解题步骤 16.1.2.1.2

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 16.1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{6} + 0 π$

解题步骤 16.1.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{π}{6} + 0$

解题步骤 16.1.2.2

将 $\frac{π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 16.1.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 16.2

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 16.2.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

解题步骤 16.2.2

化简。

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解题步骤 16.2.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

解题步骤 16.2.2.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 16.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 16.2.2.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

解题步骤 16.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

解题步骤 16.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 16.2.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π + 4 π}{6}$

解题步骤 16.2.2.5.2

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$\frac{5 π}{6}$

解题步骤 16.2.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

解题步骤 16.3

将 $2$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 16.3.1

将 $2$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

解题步骤 16.3.2

化简。

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解题步骤 16.3.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 16.3.2.2

要将 $\frac{4 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 16.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 16.3.2.3.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 16.3.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

解题步骤 16.3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

解题步骤 16.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 16.3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π + 8 π}{6}$

解题步骤 16.3.2.5.2

将 $π$ 和 $8 π$ 相加。

$\frac{9 π}{6}$

解题步骤 16.3.2.6

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 16.3.2.6.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3 π)}{6}$

解题步骤 16.3.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 16.3.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

解题步骤 16.3.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

解题步骤 16.3.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 16.3.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{3 π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$

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