三角学示例

$25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

对 $25 x^{2} + 100 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

解题步骤 1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 25$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{50}{25}$

解题步骤 1.1.3.2.2

约去 $50$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$d = 2$

解题步骤 1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

解题步骤 1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

对 $100$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3

用 $10000$ 除以 $100$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 100$

解题步骤 1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $100$ 。

$e = 0 - 100$

解题步骤 1.1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $100$ 。

$e = - 100$

解题步骤 1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ 。

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

解题步骤 1.2

在方程 $25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$ 中，用 $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ 代替 $25 x^{2} + 100 x$ 。

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 + 4 y^{2} = 0$

解题步骤 1.3

通过在等式两边同时加上 $100$ 的方法来将 $- 100$ 移到等式右边。

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 0 + 100$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $100$ 相加。

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 100$

解题步骤 1.5

将每一项除以 $100$ 以使方程右边等于一。

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{4 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

解题步骤 1.6

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 5$

$b = 2$

$k = 0$

$h = - 2$

解题步骤 4

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 4.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{25 - 4}$

解题步骤 4.3.4

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$\sqrt{21}$

解题步骤 5

求焦点。

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解题步骤 5.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 5.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(- 2, 0 + \sqrt{21})$

解题步骤 5.3

化简。

$(- 2, \sqrt{21})$

解题步骤 5.4

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 5.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(- 2, 0 - (\sqrt{21}))$

解题步骤 5.6

化简。

$(- 2, - \sqrt{21})$

解题步骤 5.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

解题步骤 6

三角学 示例

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