三角学示例

$(1.8, - 2)$ , $(3.8, - 1.4)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1.8 \cdot 3.8 - 2 \cdot - 1.4$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $1.8$ 乘以 $3.8$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 - 2 \cdot - 1.4$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1.4$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 + 2.8$

解题步骤 2.2.2

将 $6.84$ 和 $2.8$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.64$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{1.8}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $1.8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + 4}$

解题步骤 3.2.3

将 $3.24$ 和 $4$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{7.24}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{3.8}^{2} + {(- 1.4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $3.8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + {(- 1.4)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 1.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + 1.96}$

解题步骤 4.2.3

将 $14.44$ 和 $1.96$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{16.4}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24} \sqrt{16.4}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24 \cdot 16.4}})$

解题步骤 6.1.2

将 $7.24$ 乘以 $16.4$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}})$

解题步骤 6.2

将 $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}} \cdot \frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}})$

解题步骤 6.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736} \sqrt{118.736}})$

解题步骤 6.3.2

对 $\sqrt{118.736}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} \sqrt{118.736}})$

解题步骤 6.3.3

对 $\sqrt{118.736}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} {\sqrt{118.736}}^{1}})$

解题步骤 6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{2}})$

解题步骤 6.3.6

将 ${\sqrt{118.736}}^{2}$ 重写为 $118.736$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{118.736}$ 重写成 ${118.736}^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{({118.736}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{1}})$

解题步骤 6.3.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{118.736})$

解题步骤 6.4

将 $9.64$ 乘以 $\sqrt{118.736}$ 。

$θ = \arccos (\frac{105.04327196}{118.736})$

解题步骤 6.5

用 $105.04327196$ 除以 $118.736$ 。

$θ = \arccos (0.88467922)$

解题步骤 6.6

计算 $\arccos (0.88467922)$ 。

$θ = 27.78792807$

三角学 示例

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