三角学示例

$f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = | \log_{3} (x + 5) |$ 的顶点是 $(- 4, 0)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\log_{3} (x + 5)$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\log_{3} (x + 5) = 0$ 。

$\log_{3} (x + 5) = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\log_{3} (x + 5) = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

使用对数的定义将 $\log_{3} (x + 5) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{0} = x + 5$

解题步骤 1.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将方程重写为 $x + 5 = 3^{0}$ 。

$x + 5 = 3^{0}$

解题步骤 1.2.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x + 5 = 1$

解题步骤 1.2.2.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = 1 - 5$

解题步骤 1.2.2.3.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$y = | \log_{3} ((- 4) + 5) |$

解题步骤 1.4

化简 $| \log_{3} ((- 4) + 5) |$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$y = | \log_{3} (1) |$

解题步骤 1.4.2

$1$ 的对数底 $3$ 的值为 $0$ 。

$y = | 0 |$

解题步骤 1.4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.5

绝对值顶点为 $(- 4, 0)$ 。

$(- 4, 0)$

解题步骤 2

求 $f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\log_{3} (x + 5)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 5 > 0$

解题步骤 2.2

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$x > - 5$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- 5, \infty)$

集合符号：

${x | x > - 5}$

区间计数法：

$(- 5, \infty)$

集合符号：

${x | x > - 5}$

解题步骤 3

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 的值 $- 3$ 代入 $f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$ 。在本例中，该点为 $(- 3, \log_{3} (2))$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = | \log_{3} ((- 3) + 5) |$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$f (- 3) = | \log_{3} (2) |$

解题步骤 3.1.2.2

$\log_{3} (2)$ 约为 $0.63092975$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (- 3) = \log_{3} (2)$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $\log_{3} (2)$ 。

$y = \log_{3} (2)$

解题步骤 3.2

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$ 。在本例中，该点为 $(- 2, 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = | \log_{3} ((- 2) + 5) |$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$f (- 2) = | \log_{3} (3) |$

解题步骤 3.2.2.2

$3$ 的对数底 $3$ 的值为 $1$ 。

$f (- 2) = | 1 |$

解题步骤 3.2.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (- 2) = 1$

解题步骤 3.2.2.4

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 3.3

可以利用顶点附近的点 $(- 4, 0), (- 3, 0.63), (- 2, 1)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 0.63 \\ - 2 & 1 \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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