三角学示例

${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1

化简 ${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用二项式定理。

$y = {\sqrt{x}}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

将 ${\sqrt{x}}^{4}$ 重写为 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$y = x^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$y = x^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y = x^{2} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.2

将 ${\sqrt{x}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{x^{3}}$ 。

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{3}} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.3

因式分解出 $x^{2}$ 。

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{2} x} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.4

从根式下提出各项。

$y = x^{2} + 4 (x \sqrt{x}) \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 9$ 乘以 $4$ 。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.6.4.1

约去公因数。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.6.4.2

重写表达式。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{1} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.6.5

化简。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.7

对 $- 9$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x \cdot 81 + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.8

将 $81$ 乘以 $6$ 。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.9

对 $- 9$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} \cdot - 729 + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.10

将 $- 729$ 乘以 $4$ 。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + {(- 9)}^{4} + 1$

解题步骤 1.1.2.11

对 $- 9$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6561 + 1$

解题步骤 1.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将 $6561$ 和 $1$ 相加。

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6562$

解题步骤 1.2.2

移动 $- 36 x \sqrt{x}$ 。

$y = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$

解题步骤 2

求 $y = {(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 3

要求根式端点，请将 $x$ 值 $0$ 代入 $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ ，即定义域中的最小值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} + 486 (0) - 36 \cdot 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 486 (0) - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

解题步骤 3.2.1.2

将 $486$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 36$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

解题步骤 3.2.1.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0^{2}} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

解题步骤 3.2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 + 0 + 0 \cdot 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

解题步骤 3.2.1.6

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

解题步骤 3.2.1.7

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0^{2}} + 6562$

解题步骤 3.2.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \cdot 0 + 6562$

解题步骤 3.2.1.9

将 $- 2916$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 6562$

解题步骤 3.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 6562$

解题步骤 3.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 6562$

解题步骤 3.2.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 6562$

解题步骤 3.2.2.4

将 $0$ 和 $6562$ 相加。

$f (0) = 6562$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $6562$ 。

$6562$

解题步骤 4

根式表达式的端点为 $(0, 6562)$ 。

$(0, 6562)$

解题步骤 5

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ 。在本例中，该点为 $(1, 4097)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{2} + 486 (1) - 36 \cdot 1 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + 486 (1) - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $486$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

解题步骤 5.1.2.1.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 486 - 36 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

解题步骤 5.1.2.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot 1 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

解题步骤 5.1.2.1.5

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

解题步骤 5.1.2.1.6

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \cdot 1 + 6562$

解题步骤 5.1.2.1.7

将 $- 2916$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 + 6562$

解题步骤 5.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.2.1

将 $1$ 和 $486$ 相加。

$f (1) = 487 - 36 - 2916 + 6562$

解题步骤 5.1.2.2.2

从 $487$ 中减去 $36$ 。

$f (1) = 451 - 2916 + 6562$

解题步骤 5.1.2.2.3

从 $451$ 中减去 $2916$ 。

$f (1) = - 2465 + 6562$

解题步骤 5.1.2.2.4

将 $- 2465$ 和 $6562$ 相加。

$f (1) = 4097$

解题步骤 5.1.2.3

最终答案为 $4097$ 。

$y = 4097$

解题步骤 5.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ 。在本例中，该点为 $(2, 7538 - 2988 \sqrt{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{2} + 486 (2) - 36 \cdot 2 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

解题步骤 5.2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 4 + 486 (2) - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $486$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 4 + 972 - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

解题步骤 5.2.2.1.3

将 $- 36$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 4 + 972 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

解题步骤 5.2.2.2

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.2.1

将 $4$ 和 $972$ 相加。

$f (2) = 976 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $976$ 和 $6562$ 相加。

$f (2) = 7538 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.2.2.3

从 $- 72 \sqrt{2}$ 中减去 $2916 \sqrt{2}$ 。

$f (2) = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.2.3

最终答案为 $7538 - 2988 \sqrt{2}$ 。

$y = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

解题步骤 5.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(0, 6562), (1, 4097), (2, 3312.33)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6562 \\ 1 & 4097 \\ 2 & 3312.33 \end{array}$

解题步骤 6

三角学 示例

三角学示例