三角学示例

$2 \arctan (\frac{2 (\sqrt{b})}{b + 1})$

解题步骤 1

求 $y = 2 \arctan (\frac{2 (\sqrt{b})}{b + 1})$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 1.2

将 $\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $0$ 代入 $f (x) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1})$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{0}}{(0) + 1})$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{0^{2}}}{0 + 1})$

解题步骤 2.2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{0 + 1})$

解题步骤 2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{1})$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 2 \arctan (\frac{0}{1})$

解题步骤 2.2.2.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$f (0) = 2 \arctan (0)$

解题步骤 2.2.3

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 2 \cdot 0$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 2.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1})$ 。在本例中，该点为 $(1, \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{1}}{(1) + 1})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 1}{1 + 1})$

解题步骤 4.1.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 1}{2})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2}{2})$

解题步骤 4.1.2.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f (1) = 2 \arctan (1)$

解题步骤 4.1.2.5

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$f (1) = 2 (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (1) = 2 (\frac{π}{2 (2)})$

解题步骤 4.1.2.6.2

约去公因数。

$f (1) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.1.2.6.3

重写表达式。

$f (1) = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.1.2.7

最终答案为 $\frac{π}{2}$ 。

$y = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1})$ 。在本例中，该点为 $(2, 1.51193882)$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{(2) + 1})$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

计算 $\arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{3})$ 。

$f (2) = 2 \cdot 0.75596941$

解题步骤 4.2.2.3

将 $2$ 乘以 $0.75596941$ 。

$f (2) = 1.51193882$

解题步骤 4.2.2.4

最终答案为 $1.51193882$ 。

$y = 1.51193882$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(0, 0), (1, 1.57), (2, 1.51)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.57 \\ 2 & 1.51 \end{array}$

解题步骤 5

三角学 示例

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