三角学示例

$| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 3} |$

解题步骤 1

求 $y = | \frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 3} |$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 3 = 0$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 3}$

区间计数法：

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 3}$

解题步骤 2

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 2.1

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = | \frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 3} |$ 。在本例中，该点为 $(- 2, \frac{4}{5})$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = | \frac{((- 2) - 2) ((- 2) + 1)}{(- 2) - 3} |$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f (- 2) = | \frac{- 4 (- 2 + 1)}{- 2 - 3} |$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2) = | \frac{- 4 \cdot - 1}{- 2 - 3} |$

解题步骤 2.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f (- 2) = | \frac{- 4 \cdot - 1}{- 5} |$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2) = | \frac{4}{- 5} |$

解题步骤 2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = | - \frac{4}{5} |$

解题步骤 2.1.2.3

$- \frac{4}{5}$ 约为 $- 0.8$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{4}{5}$ 取反并去掉绝对值

$f (- 2) = \frac{4}{5}$

解题步骤 2.1.2.4

最终答案为 $\frac{4}{5}$ 。

$y = \frac{4}{5}$

解题步骤 2.2

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = | \frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 3} |$ 。在本例中，该点为 $(- 1, 0)$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = | \frac{((- 1) - 2) ((- 1) + 1)}{(- 1) - 3} |$

解题步骤 2.2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f (- 1) = | \frac{- 3 (- 1 + 1)}{- 1 - 3} |$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = | \frac{- 3 \cdot 0}{- 1 - 3} |$

解题步骤 2.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$f (- 1) = | \frac{- 3 \cdot 0}{- 4} |$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f (- 1) = | \frac{0}{- 4} |$

解题步骤 2.2.2.2.3

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$f (- 1) = | 0 |$

解题步骤 2.2.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$f (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = | \frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 3} |$ 。在本例中，该点为 $(0, \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = | \frac{((0) - 2) ((0) + 1)}{(0) - 3} |$

解题步骤 2.3.2

化简结果。

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解题步骤 2.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (0) = | \frac{- 2 (0 + 1)}{0 - 3} |$

解题步骤 2.3.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = | \frac{- 2 \cdot 1}{0 - 3} |$

解题步骤 2.3.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$f (0) = | \frac{- 2 \cdot 1}{- 3} |$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = | \frac{- 2}{- 3} |$

解题步骤 2.3.2.2.3

将两个负数相除得到一个正数。

$f (0) = | \frac{2}{3} |$

解题步骤 2.3.2.3

$\frac{2}{3}$ 约为 $0.\overline{6}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (0) = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.4

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = | \frac{(x - 2) (x + 1)}{x - 3} |$ 。在本例中，该点为 $(1, 1)$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = | \frac{((1) - 2) ((1) + 1)}{(1) - 3} |$

解题步骤 2.4.2

化简结果。

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解题步骤 2.4.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.1.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = | \frac{- 1 (1 + 1)}{1 - 3} |$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = | \frac{- 1 \cdot 2}{1 - 3} |$

解题步骤 2.4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f (1) = | \frac{- 1 \cdot 2}{- 2} |$

解题步骤 2.4.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (1) = | \frac{- 2}{- 2} |$

解题步骤 2.4.2.2.3

用 $- 2$ 除以 $- 2$ 。

$f (1) = | 1 |$

解题步骤 2.4.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 2.5

可以利用顶点附近的点 $(- 2, 0.8), (- 1, 0), (0, 0.67), (1, 1)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0.8 \\ - 1 & 0 \\ 0 & 0.67 \\ 1 & 1 \end{array}$

解题步骤 3

三角学 示例

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