三角学示例

$\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$u = 0$

解题步骤 2

将 $\sqrt{64 - u^{2}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$64 - u^{2} < 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

从不等式两边同时减去 $64$ 。

$- u^{2} < - 64$

解题步骤 3.2

将 $- u^{2} < - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $- u^{2} < - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- u^{2}}{- 1} > \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{u^{2}}{1} > \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2

用 $u^{2}$ 除以 $1$ 。

$u^{2} > \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

用 $- 64$ 除以 $- 1$ 。

$u^{2} > 64$

解题步骤 3.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{u^{2}} > \sqrt{64}$

解题步骤 3.4

化简方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

从根式下提出各项。

$| u | > \sqrt{64}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

化简 $\sqrt{64}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| u | > \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 3.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| u | > | 8 |$

解题步骤 3.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $8$ 之间的距离为 $8$ 。

$| u | > 8$

解题步骤 3.5

将 $| u | > 8$ 书写为分段式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$u \geq 0$

解题步骤 3.5.2

在 $u$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$u > 8$

解题步骤 3.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$u < 0$

解题步骤 3.5.4

在 $u$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- u > 8$

解题步骤 3.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} u > 8 & u \geq 0 \\ - u > 8 & u < 0 \end{cases}$

解题步骤 3.6

求 $u > 8$ 和 $u \geq 0$ 的交点。

$u > 8$

解题步骤 3.7

将 $- u > 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

将 $- u > 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- u}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

解题步骤 3.7.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{u}{1} < \frac{8}{- 1}$

解题步骤 3.7.2.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u < \frac{8}{- 1}$

解题步骤 3.7.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.3.1

用 $8$ 除以 $- 1$ 。

$u < - 8$

解题步骤 3.8

求解的并集。

$u < - 8$ 或 $u > 8$

解题步骤 4

将 $\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}) = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $u$ from inside the arccotangent.

$\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{8^{2} - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 8$ 和 $b = u$ 。

$\frac{\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.3

交叉相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$\cot (\frac{π}{2} + π n) \cdot (u) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

将 $\cot (\frac{π}{2} + π n) u$ 中的因式重新排序。

$u \cot (\frac{π}{2} + π n) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

解题步骤 5.4

将方程重写为 $\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ 。

$\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(8 + u) (8 - u)}$ 重写成 ${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1

化简 ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1.1

将 ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1.1.2.1

约去公因数。

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.1.2.2

重写表达式。

${((8 + u) (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(8 + u) (8 - u)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1.2.1

运用分配律。

${(8 (8 - u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2.2

运用分配律。

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2.3

运用分配律。

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1.3.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

${(64 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

${(64 - 8 u + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3.1.3

将 $8$ 移到 $u$ 的左侧。

${(64 - 8 u + 8 \cdot u + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

${(64 - 8 u + 8 u - u \cdot u)}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3.1.5

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.2.1.3.1.5.1

移动 $u$ 。

${(64 - 8 u + 8 u - (u \cdot u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3.1.5.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

${(64 - 8 u + 8 u - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3.2

将 $- 8 u$ 和 $8 u$ 相加。

${(64 + 0 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.3.3

将 $64$ 和 $0$ 相加。

${(64 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.2.1.4

化简。

$64 - u^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.3.1

对 $u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ 运用乘积法则。

$64 - u^{2} = u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.7

求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.1

将所有包含 $u$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.1.1

从等式两边同时减去 $u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ 。

$64 - u^{2} - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

解题步骤 5.7.1.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- u^{2}$ 。

$64 - u^{2} (1) - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

解题步骤 5.7.1.3

从 $- u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ 中分解出因数 $- u^{2}$ 。

$64 - u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

解题步骤 5.7.1.4

从 $- u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n))$ 中分解出因数 $- u^{2}$ 。

$64 - u^{2} (1 + \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

解题步骤 5.7.1.5

使用勾股恒等式。

$64 - u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

解题步骤 5.7.2

从等式两边同时减去 $64$ 。

$- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$

解题步骤 5.7.3

将 $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ 中的每一项除以 $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.3.1

将 $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ 中的每一项都除以 $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ 。

$\frac{- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 5.7.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 5.7.3.2.2

约去 $\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 5.7.3.2.2.2

用 $u^{2}$ 除以 $1$ 。

$u^{2} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 5.7.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$u^{2} = \frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 5.7.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

解题步骤 5.7.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.5.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

解题步骤 5.7.5.2

将 $\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$ 重写为 ${(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}}$

解题步骤 5.7.5.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \pm \frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 5.7.5.4

分离分数。

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 5.7.5.5

将 $\csc (\frac{π}{2} + π n)$ 重写为正弦和余弦形式。

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}}$

解题步骤 5.7.5.6

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}$ 。

$u = \pm \frac{8}{1} (1 \sin (\frac{π}{2} + π n))$

解题步骤 5.7.5.7

将 $\sin (\frac{π}{2} + π n)$ 乘以 $1$ 。

$u = \pm \frac{8}{1} \sin (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.7.5.8

用 $8$ 除以 $1$ 。

$u = \pm 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.7.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 5.7.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。