三角学示例

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

解题步骤 1

将 $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sin (x)}$ 重写成 ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

化简。

$\sin (x) = 0^{2}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 2.3.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 2.3.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.3.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.3.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.3.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.3.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.3.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

将每一个解代入 $\sqrt{\sin (x)} = 0$ 并求解从而对其进行验证。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\sqrt{\sin (x)}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sin (x) < 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x < \arcsin (0)$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x < 0$

解题步骤 4.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 4.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 4.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.7

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.8

使用每一个根建立验证区间。

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

解题步骤 4.9

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 4.9.1

检验区间 $0 < x < π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.9.1.1

选择区间 $0 < x < π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 4.9.1.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\sin (2) < 0$

解题步骤 4.9.1.3

左边的 $0.90929742$ 不小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 4.9.2

检验区间 $π < x < 2 π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.9.2.1

选择区间 $π < x < 2 π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 5$

解题步骤 4.9.2.2

使用原不等式中的 $5$ 替换 $x$ 。

$\sin (5) < 0$

解题步骤 4.9.2.3

左边的 $- 0.95892427$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 4.9.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$0 < x < π$ 为假

$π < x < 2 π$ 为真

$0 < x < π$ 为假

$π < x < 2 π$ 为真

解题步骤 4.10

解由使等式成立的所有区间组成。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 6

三角学 示例

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