三角学示例

$y = \tan (5 - \sin^{2} (2 x))$

解题步骤 1

将 $\tan (5 - \sin^{2} (2 x))$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$5 - \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$

解题步骤 2.2

将 $- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin^{2} (2 x)}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin^{2} (2 x)}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $\sin^{2} (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (2 x) = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.1.1

移动 $\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\sin^{2} (2 x) = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{π}{2}$ 重写为 $- \frac{π}{2}$ 。

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.2.3.1.3

移动 $\frac{π n}{- 1}$ 中分母的负号。

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - 1 \cdot (π n) + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.2.3.1.4

将 $- 1 \cdot (π n)$ 重写为 $- (π n)$ 。

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - (π n) + \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.2.3.1.5

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - π n + 5$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2} - π n + 5}$

解题步骤 2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{π}{2} - π n + 5}$ 。

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解题步骤 2.4.1

重新排序项。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- π n + 5 - \frac{π}{2}}$

解题步骤 2.4.2

要将 $- π n$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- π n \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} + 5}$

解题步骤 2.4.3

组合 $- π n$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- π n \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} + 5}$

解题步骤 2.4.4

在公分母上合并分子。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- π n \cdot 2 - π}{2} + 5}$

解题步骤 2.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + 5}$

解题步骤 2.4.6

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.4.7

化简项。

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解题步骤 2.4.7.1

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.4.7.2

在公分母上合并分子。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π + 5 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.4.8

化简分子。

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解题步骤 2.4.8.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π + 10}{2}}$

解题步骤 2.4.8.2

重新排序项。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n + 10 - π}{2}}$

解题步骤 2.4.9

将 $\sqrt{\frac{- 2 π n + 10 - π}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.10

将 $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.11

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.11.1

将 $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.11.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.11.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.4.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.4.11.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.4.11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.11.6.4.1

约去公因数。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.11.6.4.2

重写表达式。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.4.11.6.5

计算指数。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.4.12

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{(- 2 π n + 10 - π) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 2.4.13

将 $\pm \frac{\sqrt{(- 2 π n + 10 - π) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

解题步骤 2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

解题步骤 2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

解题步骤 2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

解题步骤 2.7

在 $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$

解题步骤 2.7.2

将 $2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

解题步骤 2.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

解题步骤 2.8

在 $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$

解题步骤 2.8.2

将 $2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

解题步骤 2.8.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.8.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

解题步骤 2.9

列出所有解。

$x = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.10

合并答案。

$x = - 0.28301993 + 0.28301993 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = - 0.28301993 + 0.28301993 n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

三角学 示例

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