三角学示例

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ 。

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2

化简 $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cot (x)$ 和 $b = 1$ 。

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.2

要将 $\cot (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ 。

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.3

组合 $\cot (2 x)$ 和 $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ 。

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 移到 $\cot (2 x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.4

使用 FOIL 方法展开 $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

运用分配律。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.4.2

运用分配律。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.4.3

运用分配律。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.5.1.1

乘以 $- \cot (x) \cot (x)$ 。

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解题步骤 2.5.5.1.1.1

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.1.1.2

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.1.2

乘以 $- \cot (x) \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.5.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.1.2.2

将 $\cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.1.3

将 $- 1 \cot (x)$ 重写为 $- \cot (x)$ 。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.2

从 $\cot (x)$ 中减去 $\cot (x)$ 。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 2.5.5.3

将 $- \cot^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

解题步骤 3

将 $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \cot (x) = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 \cot (x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1.1

将 $2 \cot (x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

用 $\cot (x)$ 除以 $1$ 。

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cot (x) = 0$

解题步骤 4.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0)$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 4.5

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 4.5.2

合并分数。

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解题步骤 4.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 4.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 4.5.3

化简分子。

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解题步骤 4.5.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 4.5.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.8

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\cot (2 x)$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 x = π n$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $2 x = π n$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π n}{2}$

解题步骤 7

将 $\cot (x)$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 9

三角学 示例

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