三角学示例

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ 。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ 的因式。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.4

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.6

乘以 $- \cos (2 x) \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 5.6.1

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.6.2

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - {\cos (2 x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

解题步骤 5.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos^{2} (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

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