三角学示例

$\sin (105) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\sin (105)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (75) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sin (30 + 45) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.3

使用两角和公式。

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.4

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.8

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.8.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.8.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (45) - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.3

乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.6

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.7.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.7.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{12}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.7.5

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.7.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.7.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.7.6

从根式下提出各项。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.8

约去 $2 + 2 \sqrt{3}$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.8.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.8.3

从 $2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{8} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 1.8.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 (4)} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.8.4.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 4} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.8.4.3

重写表达式。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \cos (105) \sin (45)$

解题步骤 1.9

$\cos (105)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.9.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - \cos (75) \sin (45)$

解题步骤 1.9.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - \cos (30 + 45) \sin (45)$

解题步骤 1.9.3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (45)$

解题步骤 1.9.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (45)$

解题步骤 1.9.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (45)$

解题步骤 1.9.6

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (45)$

解题步骤 1.9.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (45)$

解题步骤 1.9.8

化简 $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.9.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (45)$

解题步骤 1.9.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (45)$

解题步骤 1.9.8.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (45)$

解题步骤 1.9.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (45)$

解题步骤 1.9.8.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (45)$

解题步骤 1.9.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (45)$

解题步骤 1.9.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

解题步骤 1.10

乘以 $- - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

解题步骤 1.10.2

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

解题步骤 1.11

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.12

乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.12.1

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.12.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 1.13

运用分配律。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 1.14

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 1.15

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.15.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 1.15.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

解题步骤 1.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

解题步骤 1.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.16

化简每一项。

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解题步骤 1.16.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.16.2

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.16.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.16.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.16.3

从根式下提出各项。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.16.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.16.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

解题步骤 1.16.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

解题步骤 1.16.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 1.16.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.16.4.4.1

约去公因数。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 1.16.4.4.2

重写表达式。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

解题步骤 1.16.4.5

计算指数。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

解题步骤 1.16.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

解题步骤 1.17

约去 $2 \sqrt{3} - 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.17.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

解题步骤 1.17.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

解题步骤 1.17.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

解题步骤 1.17.4

约去公因数。

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解题步骤 1.17.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

解题步骤 1.17.4.2

约去公因数。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.17.4.3

重写表达式。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1}{4}$

解题步骤 2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.2.2

将 $0$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$0.86602540 \dots$

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