三角学示例

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} = \cos^{4} (w)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\cos^{4} (w)$ 。

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w)$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.1

将 $\cot (w)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{- 1 + {(\frac{\cos (w)}{\sin (w)})}^{2} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\frac{\cos (w)}{\sin (w)}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.3

将 $\tan (w)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) {(\frac{\sin (w)}{\cos (w)})}^{2}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.4

对 $\frac{\sin (w)}{\cos (w)}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $\cos^{2} (w)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \sin^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.6

移动 $\sin^{2} (w)$ 。

$\frac{- 1 + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.8

从 $\sin^{2} (w)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.9

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.10

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (w))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (w))$ 。

$\frac{- (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.11

使用勾股恒等式。

$\frac{- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.12

从 $- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ 中分解出因数 $\cos^{2} (w)$ 。

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解题步骤 2.1.1.12.1

从 $- \cos^{2} (w)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (w)$ 。

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.12.2

从 $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ 中分解出因数 $\cos^{2} (w)$ 。

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.12.3

从 $\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}$ 中分解出因数 $\cos^{2} (w)$ 。

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.13

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.14

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ 。

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.15

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.16

将 $- 1^{2}$ 和 ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ 重新排序。

$\frac{\cos^{2} (w) ({(\frac{1}{\sin (w)})}^{2} - 1^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.1.17

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{\sin (w)}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\csc (w)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{{(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

对 $\frac{1}{\sin (w)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.4

运用分配律。

$(\cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.5

组合 $\cos^{2} (w)$ 和 $\frac{1}{\sin (w)}$ 。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.6

将 $\cos^{2} (w)$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

运用分配律。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} (\frac{1}{\sin (w)} - 1) + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

运用分配律。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

运用分配律。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.8.1.1

合并。

$(\frac{\cos^{2} (w) \cdot 1}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.2

将 $\cos^{2} (w)$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.3

化简分母。

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解题步骤 2.1.8.1.3.1

对 $\sin (w)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.3.2

对 $\sin (w)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin^{1} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{{\sin (w)}^{1 + 1}} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.4

组合 $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ 和 $- 1$ 。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.5

将 $- 1$ 移到 $\cos^{2} (w)$ 的左侧。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{- 1 \cdot \cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.6

将负号移到分数的前面。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.7

组合 $\cos^{2} (w)$ 和 $\frac{1}{\sin (w)}$ 。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.8

将 $- 1$ 移到 $\cos^{2} (w)$ 的左侧。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - 1 \cdot \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.1.9

将 $- 1 \cos^{2} (w)$ 重写为 $- \cos^{2} (w)$ 。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.2

将 $- \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ 和 $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ 相加。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + 0 - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.8.3

将 $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.9

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.10

约去 $\sin^{2} (w)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.10.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.10.2

重写表达式。

$\cos^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.11

乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (w) \cdot 1 - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.12

从 $- \cos^{2} (w) \sin^{2} (w)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (w)$ 。

$\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.13

从 $\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w))$ 中分解出因数 $\cos^{2} (w)$ 。

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.14

将 $- 1 \sin^{2} (w)$ 重写为 $- \sin^{2} (w)$ 。

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.15

使用勾股恒等式。

$\cos^{2} (w) \cdot \cos^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.16

通过指数相加将 $\cos^{2} (w)$ 乘以 $\cos^{2} (w)$ 。

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解题步骤 2.1.16.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (w)}^{2 + 2} - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.1.16.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\cos^{4} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

解题步骤 2.2

从 $\cos^{4} (w)$ 中减去 $\cos^{4} (w)$ 。

$0 = 0$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

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