三角学示例

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简 $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $\sec^{4} (x)$ 重写为 ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\tan^{4} (x)$ 重写为 ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2} = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sec^{2} (x)$ 和 $b = \tan^{2} (x)$ 。

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.3

使用勾股恒等式。

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) \cdot 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 2

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换 $\sec^{2} (x)$ 。

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 3

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $\tan^{2} (x)$ 相加。

$1 + 2 \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 4

重新排列多项式。

$2 \tan^{2} (x) + 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

解题步骤 5

将所有包含 $\tan (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 \tan^{2} (x)$ 。

$2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x) = 1$

解题步骤 5.2

合并 $2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 \tan^{2} (x)$ 中减去 $2 \tan^{2} (x)$ 。

$0 + 1 = 1$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 = 1$

解题步骤 6

因为 $1 = 1$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

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