三角学示例

$- 5 + \csc (x) = (\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1

化简 $\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - (2 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 1.3

从 $- 1 (15) - (2 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15 + 2 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 1.4

将负号移到分数的前面。

$- 5 + \csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

将所有不包含 $\csc (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5$

解题步骤 2.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3

组合 $5$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\csc (x) = \frac{- (15 + 2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$\csc (x) = \frac{- 1 \cdot 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$\csc (x) = \frac{- 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.5.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 15}{3}$

解题步骤 2.5.5

将 $- 15$ 和 $15$ 相加。

$\csc (x) = \frac{0 - 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.5.6

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$\csc (x) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6

将负号移到分数的前面。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

$arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 6.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

解题步骤 8.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.3

合并分数。

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解题步骤 8.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 8.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 8.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{3}$

解题步骤 8.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 9

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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