三角学示例

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1

使用 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2

使用勾股恒等式。

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

重新排序项。

$- \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.1.2

将 $2 \sin^{2} (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 重新排序。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.1.3

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$- \cos^{2} (x) + 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.1.4

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.1.5

运用分配律。

$- \cos^{2} (x) - 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.1.6

去掉多余的括号。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.1.7

去掉多余的括号。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\cos (x) (- \cos (x) - \sin (x)) - 2 \sin (x) (- \cos (x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $- \cos (x) - \sin (x)$ 来因式分解多项式。

$(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5

将 $- \cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $- \cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $- \cos (x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.3

分离分数。

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.6

分离分数。

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 5.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 5.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- 1 - \tan (x) = 0$

解题步骤 5.2.10

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \tan (x) = 1$

解题步骤 5.2.11

将 $- \tan (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.11.1

将 $- \tan (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.11.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 5.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 5.2.13

化简右边。

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解题步骤 5.2.13.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.14

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 5.2.15

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.15.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 5.2.15.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.17

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.17.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 5.2.17.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.17.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.17.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.17.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.2.17.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.17.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 5.2.17.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.17.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.18

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\cos (x) - 2 \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x) - 2 \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.3

分离分数。

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.5

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.6

分离分数。

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 6.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 6.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 - 2 \tan (x) = 0$

解题步骤 6.2.10

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \tan (x) = - 1$

解题步骤 6.2.11

将 $- 2 \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.11.1

将 $- 2 \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.11.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.11.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.2.11.2.1.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.11.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.13

化简右边。

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解题步骤 6.2.13.1

计算 $\arctan (\frac{1}{2})$ 。

$x = 0.4636476$

解题步骤 6.2.14

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 6.2.15

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.15.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

解题步骤 6.2.15.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 6.2.15.3

将 $3.14159265$ 和 $0.4636476$ 相加。

$x = 3.60524026$

解题步骤 6.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.2.17

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

将 $0.4636476 + π n$ 和 $3.60524026 + π n$ 合并为 $0.4636476 + π n$ 。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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