三角学示例

$2 \tan^{2} (x) - 3 \tan (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} - 3 u = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$2 u^{2} - 3 u + \frac{1}{2} = 0$

解题步骤 3

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

解题步骤 3.2.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$4 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 4$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.3

从 $36$ 中减去 $16$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 8

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

$\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

解题步骤 10

在 $\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = 0.91843818$

解题步骤 10.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

解题步骤 10.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.91843818$

解题步骤 10.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

解题步骤 10.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.91843818$ 相加。

$x = 4.06003084$

解题步骤 10.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

在 $\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$ 。

$x = 0.18871053$

解题步骤 11.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

解题步骤 11.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.18871053$

解题步骤 11.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

解题步骤 11.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.18871053$ 相加。

$x = 3.33030318$

解题步骤 11.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

列出所有解。

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

合并解集。

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解题步骤 13.1

将 $0.91843818 + π n$ 和 $4.06003084 + π n$ 合并为 $0.91843818 + π n$ 。

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13.2

将 $0.18871053 + π n$ 和 $3.33030318 + π n$ 合并为 $0.18871053 + π n$ 。

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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