三角学示例

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

解题步骤 2

加上分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ 乘以 $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ 。

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ 乘以 $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ 。

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ 的因式。

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) - 1 + \cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) - 1 + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) + 0}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

解题步骤 3.3

将 $2 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cos (x)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1)}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1)}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) - 1}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

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解题步骤 5.1

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.3

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}$

解题步骤 5.4

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}$

解题步骤 5.5

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{- (1 - \cos^{2} (x))}$

解题步骤 5.6

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \cos (x)}{- \sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 8

合并。

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

解题步骤 9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

解题步骤 10

将 ${\sin (x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 12

现在，考虑等式的右边。

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 13

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 13.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

解题步骤 13.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 14.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 14.3

乘以 $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{2}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 14.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

解题步骤 14.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

解题步骤 14.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 14.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 14.4

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 15

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ 是一个恒等式

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