三角学示例

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

$\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

解题步骤 2

从 $\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cot^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $\cot^{4} (x)$ 中分解出因数 $\cot^{2} (x)$ 。

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

解题步骤 2.2

乘以 $1$ 。

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$

解题步骤 2.3

从 $\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\cot^{2} (x)$ 。

$\cot^{2} (x) (\cot^{2} (x) + 1)$

解题步骤 3

使用勾股恒等式。

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解题步骤 3.1

重新整理项。

$\cot^{2} (x) (1 + \cot^{2} (x))$

解题步骤 3.2

使用勾股恒等式。

$\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 4

将勾股恒等式反过来使用。

$(\csc^{2} (x) - 1) \csc^{2} (x)$

解题步骤 5

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 5.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) \csc^{2} (x)$

解题步骤 5.2

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 5.3

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 5.4

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

一的任意次幂都为一。

$(\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.2

一的任意次幂都为一。

$(\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.4

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.5

将 $- 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 重写为 $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 。

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.7

通过指数相加将 ${\sin (x)}^{2}$ 乘以 ${\sin (x)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.7.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.8

要将 $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${\sin (x)}^{4}$ 的形式。

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解题步骤 6.9.1

将 $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.9.2

通过指数相加将 ${\sin (x)}^{2}$ 乘以 ${\sin (x)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.9.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2 + 2}}$

解题步骤 6.9.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

解题步骤 6.10

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

解题步骤 6.11

化简分子。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$ 重写为 $\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 8

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ 是一个恒等式

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