三角学示例

$\frac{\cot (x) + \cot (y)}{1 - \cot (x) \cot (y)} = \frac{\cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\cot (x) + \cot (y)}{1 - \cot (x) \cot (y)}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cot (y)}{1 - \cot (x) \cot (y)}$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (y)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{1 - \cot (x) \cot (y)}$

解题步骤 2.3

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cot (y)}$

解题步骤 2.4

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (y)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x) \sin (y)$ .

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}$ 乘以 $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}{\sin (x) \sin (y) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\sin (x) \sin (y) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) \cdot 1 + \sin (x) \sin (y) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $\sin (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (\sin (y)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) \cdot 1 + \sin (x) \sin (y) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) \cdot 1 + \sin (x) \sin (y) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}$

解题步骤 3.3.2

约去 $\sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (y) \sin (x) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) \cdot 1 + \sin (x) \sin (y) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y) \cdot 1 + \sin (x) \sin (y) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}$

解题步骤 3.4

化简分母。

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (y) \sin (x) - \cos (y) \cos (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $- \cos (x) \cos (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 4.2

从 $\sin (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\cos (x) \cos (y)) - (- \sin (x) \sin (y))}$

解题步骤 4.3

从 $- (\cos (x) \cos (y)) - (- \sin (x) \sin (y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))}$

解题步骤 4.4

将 $- (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))$ 重写为 $- 1 (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- 1 (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 5

将 $- \frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)}$ 重写为 $\frac{\cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\cot (x) + \cot (y)}{1 - \cot (x) \cot (y)} = \frac{\cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$ 是一个恒等式

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