三角学示例

$\tan (x + 30)$

解题步骤 1

双重否定

$\tan (x - (- 30))$

解题步骤 2

应用角度恒等式的差。

$\frac{\tan (x) - \tan (- 30)}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$\frac{\tan (x) - - \tan (30)}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

解题步骤 3.2

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\tan (x) - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

解题步骤 3.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\tan (x) + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) (- \tan (30))}$

解题步骤 4.2

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 4.3

组合 $\tan (x)$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 5

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 5.2

合并。

$\frac{3 (\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 6

运用分配律。

$\frac{3 \tan (x) + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 7

通过相约进行化简。

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解题步骤 7.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \tan (x) + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 7.1.2

重写表达式。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 7.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

将 $- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 - \tan (x) \sqrt{3}}$

解题步骤 8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$

解题步骤 9

将 $\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$ 。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{(3 - \tan (x) \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}$

解题步骤 10.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 + 3 (\tan (x) \sqrt{3}) - 3 \tan (x) \sqrt{3} - \tan^{2} (x) {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 10.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{1}}$

解题步骤 10.3.1.5

计算指数。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3}$

解题步骤 10.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - 3 \tan^{2} (x)}$

解题步骤 10.4

从 $9 - 3 \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 10.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3) - 3 \tan^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.2

从 $- 3 \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3) + 3 (- \tan^{2} (x))}$

解题步骤 10.4.3

从 $3 (3) + 3 (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 11

使用 FOIL 方法展开 $(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{3 \tan (x) (3 + \tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{3 \tan (x) \cdot 3 + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$\frac{3 \tan (x) \cdot 3 + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.2

乘以 $3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 12.1.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \tan (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.2.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \tan (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 \tan (x) + 3 {\tan (x)}^{1 + 1} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.3

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.4

乘以 $\sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 12.1.4.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 12.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.1.5.5

计算指数。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3 \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 12.2

将 $9 \tan (x)$ 和 $3 \tan (x)$ 相加。

$\frac{12 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 13

约去 $12 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $12 \tan (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \tan (x)) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 13.2

从 $3 \tan^{2} (x) \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \tan (x)) + 3 (\tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 13.3

从 $3 (4 \tan (x)) + 3 (\tan^{2} (x) \sqrt{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 13.4

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 (\sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 13.5

从 $3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 13.6

约去公因数。

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解题步骤 13.6.1

约去公因数。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

解题步骤 13.6.2

重写表达式。

$\frac{4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3 - \tan^{2} (x)}$

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