三角学示例

$\tan (2 \arccos (x))$

解题步骤 1

使用正切倍角公式。

$\frac{2 \tan (\arccos (x))}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arccos (x))$ 为 $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

解题步骤 2.2

化简分子。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

解题步骤 2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{1^{2} - \tan^{2} (\arccos (x))}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \tan (\arccos (x))$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \tan (\arccos (x))) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

解题步骤 3.3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

解题步骤 3.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

解题步骤 3.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \tan (\arccos (x)))}$

解题步骤 3.3.5

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x})}$

解题步骤 3.3.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x})}$

解题步骤 3.3.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x})}$

解题步骤 3.3.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x})}$

解题步骤 3.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ 乘以 $\frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x \cdot x}}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1} x}}$

解题步骤 5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1} x^{1}}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1 + 1}}}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.2

合并 $x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.1

按照 $x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ 和 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ 重新排列因数。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.3

乘以 $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.3.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.4

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.4.5

化简。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ((1 + x) (1 - x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.5.3

运用分配律。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x + x (- x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.6.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - x^{2})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 + 0 - x^{2})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.6.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x^{2})}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.7

运用分配律。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 - - x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.9

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 + 1 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 6.4

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}$

解题步骤 7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 1}$

解题步骤 8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{2 x^{2} - 1}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{2 x^{2} - 1}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \frac{x}{2 x^{2} - 1}$

解题步骤 9

组合 $\frac{x}{2 x^{2} - 1}$ 和 $2$ 。

$\frac{x \cdot 2}{2 x^{2} - 1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 10

组合 $\frac{x \cdot 2}{2 x^{2} - 1}$ 和 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{x \cdot 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{2 x^{2} - 1}$

解题步骤 11

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{2 x^{2} - 1}$

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