三角学示例

$\sin (6 x)$

解题步骤 1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (2 (3 x))$

解题步骤 2

使用正弦三倍角公式。

$2 (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) \cos (3 x)$

解题步骤 3

运用分配律。

$(2 (- 4 \sin^{3} (x)) + 2 (3 \sin (x))) \cos (3 x)$

解题步骤 4

乘。

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解题步骤 4.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$(- 8 \sin^{3} (x) + 2 (3 \sin (x))) \cos (3 x)$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(- 8 \sin^{3} (x) + 6 \sin (x)) \cos (3 x)$

解题步骤 5

使用三倍角公式把 $\cos (3 x)$ 转换为 $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ 。

$(- 8 \sin^{3} (x) + 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

解题步骤 6

使用 FOIL 方法展开 $(- 8 \sin^{3} (x) + 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$- 8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$- 8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$- 8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 8 \cdot 4 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

解题步骤 7.1.2

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

解题步骤 7.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

解题步骤 7.1.4

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

解题步骤 7.1.5

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 7.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.2.1

从 $- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 24 \sin^{3} (x) \cos (x) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 7.2.1.2

从 $24 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x)) + 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 7.2.1.3

从 $24 \sin (x) \cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x)) - 18 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 7.2.1.4

从 $- 18 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$

解题步骤 7.2.1.5

从 $2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$

解题步骤 7.2.1.6

从 $2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (12 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$

解题步骤 7.2.1.7

从 $2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 9)$ 中分解出因数 $2 \sin (x) \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \cos^{2} (x) - 9)$

解题步骤 7.2.2

从 $12 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 (\sin^{2} (x)) + 12 \cos^{2} (x) - 9)$

解题步骤 7.2.3

从 $12 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 (\sin^{2} (x)) + 12 (\cos^{2} (x)) - 9)$

解题步骤 7.2.4

从 $12 (\sin^{2} (x)) + 12 (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $12$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - 9)$

解题步骤 8

使用勾股恒等式。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 \cdot 1 - 9)$

解题步骤 9

通过相乘进行化简。

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解题步骤 9.1

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 12 - 9)$

解题步骤 9.2

从 $12$ 中减去 $9$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 3)$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) (- 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 10

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 10.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 10.2

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 10.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 11

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (- 16 \cos^{2} (x)) + 6 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 12.1.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 12.1.2

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 12.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)) \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 12.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sin^{3} (x) {\cos (x)}^{2 + 1} \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 12.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) \cdot - 16 + 6 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 12.2

将 $- 16$ 乘以 $2$ 。

$- 32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 6 \sin (x) \cos (x)$

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