三角学示例

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ 。

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ 。

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \cos (a)) \sin (a)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ 乘以 $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ 。

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 + \cos (a)) \sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ 。

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 + \cos (a)) \sin (a)} + \frac{(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(1 + \cos (a)) \sin (a)$ 的因式。

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))} + \frac{(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (a) \sin (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

乘以 $\sin (a) \sin (a)$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.1.2

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 (1 + \cos (a)) + \cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $\cos (a)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $\cos (a)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3.1.4

乘以 $\cos (a) \cos (a)$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3.1.4.2

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.3.2

将 $\cos (a)$ 和 $\cos (a)$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.4

以因式分解的形式重写 $\sin^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)$ 。

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解题步骤 5.4.1

重新组合项。

$\frac{\sin^{2} (a) + \cos^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.4.2

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.4.4

从 $2 + 2 \cos (a)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.4.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 5.4.4.2

从 $2 \cdot 1 + 2 \cos (a)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 6

约去 $1 + \cos (a)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{2 (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{2}{\sin (a)}$

解题步骤 7

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (a)}$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{\sin (a)}$ 转换成 $\csc (a)$ 。

$\frac{2}{1} \csc (a)$

解题步骤 9

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \csc (a)$

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