三角学示例

$\frac{3 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.2.1.2

把 $4$ 重写为 $1$ 加 $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.2.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

解题步骤 2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

解题步骤 2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 2.2.3

重写多项式。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

解题步骤 2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

约去 $\cos (x) + 1$ 和 ${(\cos (x) + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从 $(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)$ 中分解出因数 $\cos (x) + 1$ 。

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 ${(\cos (x) + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $\cos (x) + 1$ 。

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\frac{3 \cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

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