三角学示例

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6)$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{3} (x)$ 。

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x + 6) = 1$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{x + 6}) = 1$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{x^{2}}{x + 6}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{1} = \frac{x^{2}}{x + 6}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$x^{2} = 3 (x + 6)$

解题步骤 5

化简 $3 (x + 6)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$x^{2} = 3 x + 3 \cdot 6$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$x^{2} = 3 x + 18$

解题步骤 6

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$x^{2} - 3 x = 18$

解题步骤 7

从 $x^{2} - 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - 3 x = 18$

解题步骤 7.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 18$

解题步骤 7.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 3) = 18$

解题步骤 8

化简 $x (x - 3)$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 18$

解题步骤 8.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 3 = 18$

解题步骤 8.2.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 3 x = 18$

解题步骤 9

从等式两边同时减去 $18$ 。

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

解题步骤 10

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 10.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 18$ ，和为 $- 3$ 。

$- 6, 3$

解题步骤 10.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 6) (x + 3) = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 12

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 13

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 14

最终解为使 $(x - 6) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 6, - 3$

解题步骤 15

排除不能使 $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$ 成立的解。

$x = 6$

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