三角学示例

$2 \sin (x) \cos^{3} (x) + 2 \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 1

给定表达式 $a \sin (x) + b \cos (x)$ ，求 $k$ 和 $θ$ 的值。

$k = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

解题步骤 2

将 $2 \sin (x) \cos^{3} (x)$ 和 $2 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 的系数代入 $k = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 来计算 $k$ 的值。

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解题步骤 2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$k = \sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$k = \sqrt{4 + 4}$

解题步骤 2.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$k = \sqrt{8}$

解题步骤 2.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$k = \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$k = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.5

从根式下提出各项。

$k = 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3

通过将 $2 \sin (x) \cos^{3} (x)$ 和 $2 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 的系数代入 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 来求 $θ$ 的值。

$θ = \tan^{-1} (\frac{2}{2})$

解题步骤 4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\tan^{-1} (1)$

解题步骤 5

三角函数的线性组合规定了 $a \sin (x) + b \cos (x) = k \sin (x + θ)$ 。将 $k$ 和 $θ$ 的值代入。

$2 \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$

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