三角学示例

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$\tan (2 x)$

解题步骤 2

使用正切倍角公式。

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 3

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 3.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 3.3

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 4.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 4.2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

解题步骤 4.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

解题步骤 4.4

化简分母。

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解题步骤 4.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

解题步骤 4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

解题步骤 4.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

解题步骤 4.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 4.6

合并。

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

解题步骤 4.7

约去 ${\cos (x)}^{2}$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 5

重新排序项。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 6

将 $\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ 重写为 $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ 。

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ 是一个恒等式

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