三角学示例

$\tan (75)$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $75$ 可以被拆分为 $30 + 45$ 。

$\tan (30 + 45)$

解题步骤 2

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是 $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 3.2

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

解题步骤 4.2

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

解题步骤 8.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.5

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ 。

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

解题步骤 8.6.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

解题步骤 8.6.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.4

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.5

约去 $3 \sqrt{3} + 3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.5.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.5.3

从 $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.5.4

约去公因数。

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解题步骤 9.5.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.5.4.2

约去公因数。

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.5.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.2

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.4

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.4.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

解题步骤 10.4.3

从 $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 10.4.4

约去公因数。

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解题步骤 10.4.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

解题步骤 10.4.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.4.4.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 10.4.4.4

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$2 + \sqrt{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 + \sqrt{3}$

小数形式：

$3.73205080 \dots$

三角学 示例

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