三角学示例

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2

将勾股恒等式反过来使用。

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 3

因数。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 4

将勾股恒等式反过来使用。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

解题步骤 5

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 5.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

解题步骤 5.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

运用分配律。

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.1.2

将 $- \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.1.4

乘以 $\sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.1.3

一的任意次幂都为一。

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

解题步骤 6.3

将 $- {\sin (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 7

将 $- \sin^{2} (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8

加上分数。

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解题步骤 8.1

要将 $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 9

化简分子。

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10

现在考虑方程的左边。

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 11

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 11.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

解题步骤 11.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

解题步骤 12

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

解题步骤 13

将 $- \sin^{2} (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

解题步骤 14

加上分数。

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解题步骤 14.1

要将 $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 14.2

将 $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 14.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 15

化简分子。

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 16

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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