初级微积分示例

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ 无定义。

$x = \frac{3}{4}$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ 并且它们的和为 $b = - 14$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 $- 14 x$ 中分解出因数 $- 14$ 。

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.1.1.2

把 $- 14$ 重写为 $- 2$ 加 $- 12$

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.1.1.3

运用分配律。

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

解题步骤 5.1.3

通过因式分解出最大公因数 $12 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2

展开 $(12 x - 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.4

去掉圆括号。

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.5

移动 $x$ 。

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.6

移动 $x$ 。

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.7

去掉圆括号。

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.8

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.13

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.14

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.2.16

从 $- 12 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $24 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $24 x^{2} - 18 x$ 中的所有符号

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

解题步骤 5.9

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

解题步骤 5.10

将新的商式项乘以除数。

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

解题步骤 5.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x - 3$ 中的所有符号

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

解题步骤 5.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

解题步骤 5.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

解题步骤 5.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 6 x + 1$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = \frac{3}{4}$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 6 x + 1$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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