初级微积分示例

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ 乘以 $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ 乘以 $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))$ 的因式。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

从 $\sin (θ) (1 - \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $- \sin (θ) (1 + \sin (θ))$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) (- (1 + \sin (θ)))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.1.2

从 $\sin (θ) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) (- (1 + \sin (θ)))$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - (1 + \sin (θ)))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - 1 \cdot 1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - 1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\sin (θ) (0 - \sin (θ) - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.5

从 $0$ 中减去 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) (- \sin (θ) - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.6

从 $- \sin (θ)$ 中减去 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\sin (θ) \cdot - 2 \sin (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.7

合并指数。

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解题步骤 5.7.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (\sin^{1} (θ) \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.7.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 {\sin (θ)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 5.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sin^{2} (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

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