初级微积分示例

$y^{2} - 4 x - 8 y - 12 = 0$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

将 $x$ 单独提取至等式的左边。

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解题步骤 1.1.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$- 4 x - 8 y - 12 = - y^{2}$

解题步骤 1.1.1.2

在等式两边都加上 $8 y$ 。

$- 4 x - 12 = - y^{2} + 8 y$

解题步骤 1.1.1.3

在等式两边都加上 $12$ 。

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$

解题步骤 1.1.2

将 $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

约去 $8$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.1

从 $8 y$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (2 y)}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2

移动 $\frac{2 y}{- 1}$ 中分母的负号。

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot (2 y) + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $- 1 \cdot (2 y)$ 重写为 $- (2 y)$ 。

$x = \frac{y^{2}}{4} - (2 y) + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{12}{- 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.5

用 $12$ 除以 $- 4$ 。

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$

解题步骤 1.2

对 $\frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 3$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$d = - 4$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $4$ 除以 $4$ 。

$e = - 3 - \frac{4}{1}$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$e = - 3 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.2.4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = - 3 - 4$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $- 3$ 中减去 $4$ 。

$e = - 7$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$ 。

$\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$

解题步骤 1.3

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 7$

解题步骤 2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = 4$

解题步骤 3

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 7, 4)$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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