初级微积分示例

${(2 (\cos (240 °) + i \sin (240 °)))}^{4}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

${(2 (- \cos (60) + i \sin (240 °)))}^{4}$

解题步骤 1.1.2

$\cos (60)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(2 (- \frac{1}{2} + i \sin (240 °)))}^{4}$

解题步骤 1.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \sin (60))))}^{4}$

解题步骤 1.1.4

$\sin (60)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})))}^{4}$

解题步骤 1.1.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(2 (- \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

解题步骤 1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

${(2 (- \frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

解题步骤 1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

解题步骤 1.2.2.2

约去公因数。

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

解题步骤 1.2.2.3

重写表达式。

${(- 1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

解题步骤 1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

${(- 1 - i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 ${(- 1)}^{3}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $- 1$ 。

$1 + 4 (- {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + 4 {(- 1)}^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$1 + 4 {(- 1)}^{4} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.7.1

对 $- i \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.7.2

对 $- i$ 运用乘积法则。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.9

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.10

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.11

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.11.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.11.4.1

约去公因数。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.11.4.2

重写表达式。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{1}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.11.5

计算指数。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.12

乘以 $6 (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 3.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.12.2

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.13

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.14

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.14.1

对 $- i \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.14.2

对 $- i$ 运用乘积法则。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.15

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.16

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.17

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.18

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.19

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.20

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.21

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.22

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.23

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.23.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.23.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.24

从根式下提出各项。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.25

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.26

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

解题步骤 3.1.27

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.27.1

对 $- i \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.27.2

对 $- i$ 运用乘积法则。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.28

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.29

将 $i^{4}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.30

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.30.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.30.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.30.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.31

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}$

解题步骤 3.1.32

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.32.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}$

解题步骤 3.1.32.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

解题步骤 3.1.32.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}$

解题步骤 3.1.32.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.32.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.1.32.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.32.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

解题步骤 3.1.32.4.2.2

约去公因数。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 3.1.32.4.2.3

重写表达式。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}$

解题步骤 3.1.32.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}$

解题步骤 3.1.33

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9$

解题步骤 3.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $18$ 。

$4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9$

解题步骤 3.2.2

从 $4 i \sqrt{3}$ 中减去 $12 i \sqrt{3}$ 。

$- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9$

解题步骤 3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $- 17$ 和 $9$ 相加。

$- 8 i \sqrt{3} - 8$

解题步骤 3.2.3.2

将 $- 8 i \sqrt{3}$ 和 $- 8$ 重新排序。

$- 8 - 8 i \sqrt{3}$

初级微积分 示例

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