初级微积分示例

$\log_{2} (2 \sqrt{8} \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{4}}))$

解题步骤 1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\log_{2} (2 \sqrt{4 (2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

解题步骤 1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\log_{2} (2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

解题步骤 2

从根式下提出各项。

$\log_{2} (2 (2 \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

解题步骤 4

将 $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}})$

解题步骤 5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}})$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}))$

解题步骤 7

合并和化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

解题步骤 7.2

对 $\sqrt[3]{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

解题步骤 7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}})$

解题步骤 7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}})$

解题步骤 7.5

将 ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 重写为 $4$ 。

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解题步骤 7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

解题步骤 7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

解题步骤 7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.4.1

约去公因数。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

解题步骤 7.5.4.2

重写表达式。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}})$

解题步骤 7.5.5

计算指数。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4})$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4})$

解题步骤 8.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4})$

解题步骤 8.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4})$

解题步骤 8.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4})$

解题步骤 8.4

从根式下提出各项。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

解题步骤 9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\log_{2} (4 (\sqrt{2}) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

解题步骤 9.2

约去公因数。

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

解题步骤 9.3

重写表达式。

$\log_{2} (\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2}))$

解题步骤 10

使用 $6$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\log_{2} (2 (2^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}))$

解题步骤 10.2

将 $2^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $2^{\frac{3}{6}}$ 。

$\log_{2} (2 (2^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2}))$

解题步骤 10.3

将 $2^{\frac{3}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{2^{3}}$ 。

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[3]{2}))$

解题步骤 10.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 10.5

将 $2^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $2^{\frac{2}{6}}$ 。

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}}))$

解题步骤 10.6

将 $2^{\frac{2}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{2^{2}}$ 。

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{2^{2}}))$

解题步骤 11

使用根数乘积法则进行合并。

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{2}})$

解题步骤 12

通过指数相加将 $2^{3}$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 12.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3 + 2}})$

解题步骤 12.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{5}})$

解题步骤 13

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$

解题步骤 14

使用基数公式的变化式重写 $\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$ 。

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解题步骤 14.1

如果 $a$ 和 $b$ 都大于 $0$ 且不等于 $1$ ，并且 $x$ 大于 $0$ ，则可使用换底公式。

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

解题步骤 14.2

使用 $b = 10$ 将变量的值代入基本公式变换中。

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

小数形式：

$1.8\overline{3}$

初级微积分 示例

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