初级微积分示例

$\cos^{3} (\frac{5 π}{6}) \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

${(- \cos (\frac{π}{6}))}^{3} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.3.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.3.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.5.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{27}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.5.3

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.5.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.5.4

从根式下提出各项。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7

$\sin (\frac{7 π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $\frac{7 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \sin^{2} (\frac{\frac{7 π}{4}}{2}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.2

使用正弦半角公式。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.7.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.7.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.8

对 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.9

将 ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.4.1

约去公因数。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.9.4.2

重写表达式。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.9.5

化简。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.11

乘以 $- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.11.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ 。

$- \frac{(2 - \sqrt{2}) (3 \sqrt{3})}{4 \cdot 8} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.11.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{(2 - \sqrt{2}) (3 \sqrt{3})}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.12

将 $\sqrt{3}$ 和 $2 - \sqrt{2}$ 分成一组。

$- \frac{\sqrt{3} (2 - \sqrt{2}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.13

运用分配律。

$- \frac{(\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} (- \sqrt{2})) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.14

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$- \frac{(2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.15

乘以 $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.15.1

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{(2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3 \cdot 2}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.15.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{(2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{6}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

$- \frac{(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.16

将 $3$ 移到 $2 \sqrt{3} - \sqrt{6}$ 的左侧。

$- \frac{3 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17

化简分子。

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解题步骤 1.17.1

组合 $\frac{π}{6}$ 和 $\ln (8)$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π \ln (8)}{6})}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17.2

将 $\ln (8)$ 重写为 $\ln (2^{3})$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π \ln (2^{3})}{6})}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17.3

通过将 $3$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{3})$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π (3 \ln (2))}{6})}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17.4

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.17.4.1

从 $π (3 \ln (2))$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{3 (π (\ln (2)))}{6})}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.17.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{3 (π (\ln (2)))}{3 \cdot 2})}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{3 (π (\ln (2)))}{3 \cdot 2})}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π (\ln (2))}{2})}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.17.5

将 $\tan (\frac{π \ln (2)}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.18

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

解题步骤 1.19

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

解题步骤 1.20

合并和化简分母。

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解题步骤 1.20.1

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 1.20.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

解题步骤 1.20.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

解题步骤 1.20.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.20.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 1.20.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 1.20.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.20.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.20.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.20.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.20.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.20.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

解题步骤 1.20.6.5

计算指数。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

解题步骤 1.21

将 $\frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2}) \sqrt{7}}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2}) \cdot 7}$

解题步骤 1.22

将 $7$ 移到 $\cos (\frac{π \ln (2)}{2})$ 的左侧。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2}) \sqrt{7}}{7 \cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

分离分数。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$ 转换成 $\tan (\frac{π \ln (2)}{2})$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7}}{7} \tan (\frac{π \ln (2)}{2})$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 和 $\tan (\frac{π \ln (2)}{2})$ 。

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7} \tan (\frac{π \ln (2)}{2})}{7}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7} \tan (\frac{π \ln (2)}{2})}{7}$

小数形式：

$0.62734487 \dots$

初级微积分 示例

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