初级微积分示例

$(- 1, \frac{π}{8})$

解题步骤 1

使用转换公式将极坐标转换为直角坐标。

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

解题步骤 2

将 $r = - 1$ 和 $θ = \frac{π}{8}$ 的已知值代入公式中。

$x = (- 1) \cos (\frac{π}{8})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$x = - 1 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$x = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5.2

在公分母上合并分子。

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5.6

化简分母。

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解题步骤 3.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 4

将 $- 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 重写为 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 5

$\sin (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 5.2

使用正弦半角公式。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

解题步骤 5.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

解题步骤 5.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 5.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 5.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 5.4.3

在公分母上合并分子。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 5.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.4.5

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.4.5.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 5.4.6

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.4.7

化简分母。

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解题步骤 5.4.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.4.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 6

将 $- 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 重写为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 7

极点 $(- 1, \frac{π}{8})$ 的矩形表示为 $(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ 。

$(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

初级微积分 示例

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