初级微积分示例

$(5, \frac{5 π}{12})$

解题步骤 1

使用转换公式将极坐标转换为直角坐标。

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

解题步骤 2

将 $r = 5$ 和 $θ = \frac{5 π}{12}$ 的已知值代入公式中。

$x = (5) \cos (\frac{5 π}{12})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3

$\cos (\frac{5 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{5 π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$x = 5 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$x = 5 (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.5

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.7

化简 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$x = 5 (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.7.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.7.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 3.7.2

在公分母上合并分子。

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 4

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 5

$\sin (\frac{5 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{5 π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

解题步骤 5.2

使用两角和公式。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 5.3

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 5.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 5.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 5.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.7

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.7.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 5.7.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 5.7.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 5.7.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

解题步骤 5.7.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

解题步骤 6

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

解题步骤 7

极点 $(5, \frac{5 π}{12})$ 的矩形表示为 $(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$ 。

$(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$

初级微积分 示例

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