初级微积分示例

$(- 8, - 15)$

解题步骤 1

使用转换公式将极坐标转换为直角坐标。

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

解题步骤 2

将 $r = - 8$ 和 $θ = - 15$ 的已知值代入公式中。

$x = (- 8) \cos (- 15)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3

$\cos (- 15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$x = - 8 \cos (15)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.2

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$x = - 8 \cos (45 - 30)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.3

将被减数和减数分开。

$x = - 8 \cos (45 - (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.4

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$x = - 8 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.8

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.9

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.9.1

化简每一项。

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解题步骤 3.9.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 3.9.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.9.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.9.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.9.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.9.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.9.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.9.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 3.9.2

在公分母上合并分子。

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = 4 (- 2) (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$x = 4 \cdot (- 2 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$x = - 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 5

运用分配律。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

解题步骤 6

$\sin (- 15)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 6.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (15))$

解题步骤 6.2

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (45 - 30))$

解题步骤 6.3

将被减数和减数分开。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (45 - (30)))$

解题步骤 6.4

应用角度恒等式的差。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

解题步骤 6.5

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

解题步骤 6.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)))$

解题步骤 6.7

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)))$

解题步骤 6.8

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 6.9

化简 $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 6.9.1

化简每一项。

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解题步骤 6.9.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 6.9.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 6.9.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 6.9.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 6.9.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 6.9.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.9.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 6.9.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

解题步骤 6.9.2

在公分母上合并分子。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

解题步骤 7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 \frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 7.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 4 (- 2) (\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

解题步骤 7.3

约去公因数。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 4 \cdot (- 2 \frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

解题步骤 7.4

重写表达式。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 2 (- (\sqrt{6} - \sqrt{2}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 2 (- (\sqrt{6} - \sqrt{2}))$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

解题步骤 9

运用分配律。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} + 2 (- \sqrt{2})$

解题步骤 10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 11

极点 $(- 8, - 15)$ 的矩形表示为 $(- 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$ 。

$(- 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$

初级微积分 示例

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