初级微积分示例

$\tan (t) = - 1$ , $\csc (t) = 0$

Step 1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $t$ 。

$t = \arctan (- 1)$

Step 2

化简右边。

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$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$t = - \frac{π}{4}$

Step 3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$t = - \frac{π}{4} - π$

Step 4

化简表达式以求第二个解。

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将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$t = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$t = \frac{3 π}{4}$

Step 5

求 $\tan (t)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

Step 6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

合并分数。

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组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

化简分子。

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将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

列出新角。

$t = \frac{3 π}{4}$

Step 7

$\tan (t)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 8

合并答案。

$t = \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 9

使用 $\frac{3 π}{4} + π n$ 替换 $\csc (t) = 0$ 中所有出现的 $t$ .

$\csc (\frac{3 π}{4} + π n) = 0$

$t = \frac{3 π}{4} + π n$

Step 10

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

Step 11

求解 $n$ 的方程。

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将方程重写为 $\frac{3 π}{4} + π n = t$ 。

$\frac{3 π}{4} + π n = t$

无解

从等式两边同时减去 $\frac{3 π}{4}$ 。

$π n = t - \frac{3 π}{4}$

无解

将 $π n = t - \frac{3 π}{4}$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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将 $π n = t - \frac{3 π}{4}$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π n}{π} = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

无解

化简左边。

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约去 $π$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{π n}{π} = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

无解

用 $n$ 除以 $1$ 。

$n = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

无解

$n = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

无解

$n = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

无解

化简右边。

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化简每一项。

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将分子乘以分母的倒数。

$n = \frac{t}{π} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

无解

约去 $π$ 的公因数。

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将 $- \frac{3 π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$n = \frac{t}{π} + \frac{- 3 π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

无解

从 $- 3 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$n = \frac{t}{π} + \frac{π \cdot - 3}{4} \cdot \frac{1}{π}$

无解

约去公因数。

$n = \frac{t}{π} + \frac{π \cdot - 3}{4} \cdot \frac{1}{π}$

无解

重写表达式。

$n = \frac{t}{π} + \frac{- 3}{4}$

无解

$n = \frac{t}{π} + \frac{- 3}{4}$

无解

将负号移到分数的前面。

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

无解

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

无解

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

无解

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

无解

Step 12

该化简方程组是原方程组的任意解。

无解

初级微积分 示例

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