初级微积分示例

$x = - 5 \sin (4 t)$ , $y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $- 5 \sin (4 t) = x$ 。

$- 5 \sin (4 t) = x$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.2

将 $- 5 \sin (4 t) = x$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $- 5 \sin (4 t) = x$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 \sin (4 t)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 \sin (4 t)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $\sin (4 t)$ 除以 $1$ 。

$\sin (4 t) = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (4 t) = - \frac{x}{5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = - \frac{x}{5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = - \frac{x}{5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$4 t = \arcsin (- \frac{x}{5})$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.4

将 $4 t = \arcsin (- \frac{x}{5})$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $4 t = \arcsin (- \frac{x}{5})$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 t}{4} = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 t}{4} = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 1.4.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\frac{\arcsin (- \frac{- 5 \sin (4 t)}{5})}{4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

约去 $- 5$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $- 5 \sin (4 t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$t = \frac{\arcsin (- \frac{5 (- \sin (4 t))}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$t = \frac{\arcsin (- \frac{5 (- \sin (4 t))}{5 (1)})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 2.1.1.2.2

约去公因数。

$t = \frac{\arcsin (- \frac{5 (- \sin (4 t))}{5 \cdot 1})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 2.1.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{\arcsin (- \frac{- \sin (4 t)}{1})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 2.1.1.2.4

用 $- \sin (4 t)$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 2.1.2

乘以 $- - \sin (4 t)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$t = \frac{\arcsin (1 \sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 2.1.2.2

将 $\sin (4 t)$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

化简 $5 \cos (4 (\frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}))$ 。

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解题步骤 3.1.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1.1

约去公因数。

$y = 5 \cos (4 (\frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}))$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 3.1.1.1.2

重写表达式。

$y = 5 \cos (\arcsin (\sin (4 t)))$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (\arcsin (\sin (4 t)))$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 3.1.1.2

使用指数书写表达式。

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解题步骤 3.1.1.2.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}, \sin (4 t))$ 、 $(\sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\sin (4 t))$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}, \sin (4 t))$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\sin (4 t)))$ 为 $\sqrt{1 - \sin^{2} (4 t)}$ 。

$y = 5 \sqrt{1 - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 3.1.1.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = 5 \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (4 t)$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 t)) (1 - \sin (4 t))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 t)) (1 - \sin (4 t))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 t)) (1 - \sin (4 t))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 4

简化系统。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

化简 $5 \sqrt{(1 + \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$ 。

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解题步骤 5.1.1

将 $4$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((4 (- \frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.1.2.1

乘以 $4 (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- 4 (\frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.2.1.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.2.2

将负号移到分数的前面。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.2.4

将 $4$ 乘以 $0.1$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.2.5

将 $4$ 乘以 $0.3$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.3

将 $4$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((4 (- \frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.4

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.1.4.1

乘以 $4 (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 5.1.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- 4 (\frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.4.1.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.4.2

将负号移到分数的前面。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.4.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.4.4

将 $4$ 乘以 $0.1$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

解题步骤 5.1.4.5

将 $4$ 乘以 $0.3$ 。

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

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