初级微积分示例

$u = \cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ , $v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 1

化简 $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ 。

点击获取更多步骤...

化简每一项。

点击获取更多步骤...

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $i$ 。

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $j$ 。

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

将 $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ 重新排序。

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 2

化简 $\cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$ 。

点击获取更多步骤...

化简每一项。

点击获取更多步骤...

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$v = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$v = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

组合 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $j$ 。

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

将 $- \frac{i}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ 重新排序。

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Step 3

求解 $π$ 的方程。

点击获取更多步骤...

将方程重写为 $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$ 。

$\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

化简左边。

点击获取更多步骤...

化简每一项。

点击获取更多步骤...

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $i$ 。

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $j$ 。

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

将所有包含 $j$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

从等式两边同时减去 $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} - \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

合并 $\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

从 $\sqrt{2} j$ 中减去 $\sqrt{2} j$ 。

$\frac{\sqrt{2} i + 0}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

将 $\sqrt{2} i$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

因为 $\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$ ，所以方程将恒成立。

总为真

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

总为真

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Step 4

求解 $i$ 的方程。

点击获取更多步骤...

化简每一项。

点击获取更多步骤...

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

总为真

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

总为真

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

总为真

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

总为真

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

总为真

组合 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $j$ 。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

总为真

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

总为真

将所有包含 $i$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

在等式两边都加上 $\frac{i}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

总为真

合并 $\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

将 $- \frac{i}{2}$ 和 $\frac{i}{2}$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

总为真

将 $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

总为真

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

总为真

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

总为真

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$\sqrt{3} j = \sqrt{3} j$

总为真

将所有包含 $j$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

从等式两边同时减去 $\sqrt{3} j$ 。

$\sqrt{3} j - \sqrt{3} j = 0$

总为真

从 $\sqrt{3} j$ 中减去 $\sqrt{3} j$ 。

$0 = 0$

总为真

$0 = 0$

总为真

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

初级微积分 示例

初级微积分示例