初级微积分示例

$\tan (x) = - \frac{12}{15}$ , $\tan (2 x) = y$

解题步骤 1

约去 $12$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\tan (x) = - \frac{3 (4)}{15}$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\tan (x) = - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\tan (x) = - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\tan (x) = - \frac{4}{5}$

解题步骤 2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \frac{4}{5})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

计算 $\arctan (- \frac{4}{5})$ 。

$x = - 0.67474094$

解题步骤 4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 0.67474094 - (3.14159265)$

解题步骤 5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.1

将 $2 π$ 加上 $- 0.67474094 - (3.14159265)$ 。

$x = - 0.67474094 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 5.2

得出的角 $2.46685171$ 是正角度且与 $- 0.67474094 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 2.46685171$

解题步骤 6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.1

将 $π$ 加到 $- 0.67474094$ 以求正角。

$- 0.67474094 + π$

解题步骤 7.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 0.67474094$

解题步骤 7.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.67474094$ 。

$2.46685171$

解题步骤 7.4

列出新角。

$x = 2.46685171$

解题步骤 8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.46685171 + π n, 2.46685171 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

将 $2.46685171 + π n$ 和 $2.46685171 + π n$ 合并为 $2.46685171 + π n$ 。

$x = 2.46685171 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $2.46685171 + π n$ 。

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解题步骤 10.1

使用 $2.46685171 + π n$ 替换 $\tan (2 x) = y$ 中所有出现的 $x$ .

$\tan (2 (2.46685171 + π n)) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 10.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.1

化简 $\tan (2 (2.46685171 + π n))$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

运用分配律。

$\tan (2 \cdot 2.46685171 + 2 (π n)) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 10.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2.46685171$ 。

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 11

求解 $π$ 的方程。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $π$ 。

$4.93370342 + 2 π n = \arctan (y)$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 11.2

将所有不包含 $`$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 11.2.1

从等式两边同时减去 $4.93370342$ 。

$2 π n = \arctan (y) - 4.93370342$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 11.2.2

从等式两边同时减去 $2 π n$ 。

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 11.3

将方程重写为 $\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$ 。

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 11.4

将所有不包含 $`$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 11.4.1

从等式两边同时减去 $4.93370342$ 。

$2 π n = \arctan (y) - 4.93370342$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 11.4.2

从等式两边同时减去 $2 π n$ 。

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 11.5

将方程重写为 $\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$ 。

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

解题步骤 12

求解 $n$ 的方程。

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解题步骤 12.1

将方程重写为 $2.46685171 + 0 \cdot n = x$ 。

$2.46685171 + 0 \cdot n = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

解题步骤 12.2

化简 $2.46685171 + 0 \cdot n$ 。

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解题步骤 12.2.1

将 $0$ 乘以 $n$ 。

$2.46685171 + 0 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

解题步骤 12.2.2

将 $2.46685171$ 和 $0$ 相加。

$2.46685171 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$2.46685171 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

解题步骤 12.3

重写 $2.46685171 = x$ 使 $x$ 位于左边。

$x = 2.46685171$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

解题步骤 12.4

变量 $n$ 被消去。

所有实数

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

所有实数

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

解题步骤 13

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 13.1

将方程重写为 $y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$

解题步骤 13.2

化简 $\tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$ 。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 13.2.1.1.1

移动 $a$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t (a \cdot a) n l \cdot l (r e l) (n u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.1.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n l \cdot l (r e l) (n u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.2

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 13.2.1.2.1

移动 $n$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} (n \cdot n) l \cdot l (r e l) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.2.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l \cdot l (r e l) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.3

通过指数相加将 $l$ 乘以 $l$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1

移动 $l$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l \cdot l) (r e l) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.3.2

将 $l$ 乘以 $l$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{2} (r e l) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.4

通过指数相加将 $l^{2}$ 乘以 $l$ 。

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解题步骤 13.2.1.4.1

移动 $l$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l \cdot l^{2}) (r e) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.4.2

将 $l$ 乘以 $l^{2}$ 。

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解题步骤 13.2.1.4.2.1

对 $l$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l^{1} l^{2}) (r e) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{1 + 2} (r e) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r e) (u m b e r s)))$

解题步骤 13.2.1.5

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 13.2.1.5.1

移动 $r$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r \cdot r e) (u m b e s)))$

解题步骤 13.2.1.5.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r^{2} e) (u m b e s)))$

解题步骤 13.2.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r^{2} e) (u m b e s)))$

解题步骤 13.2.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (e t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e s)))$

解题步骤 13.2.1.8

乘以 $e t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e s)$ 。

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解题步骤 13.2.1.8.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b (e^{1} e) s)))$

解题步骤 13.2.1.8.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b (e^{1} e^{1}) s)))$

解题步骤 13.2.1.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e^{1 + 1} s)))$

解题步骤 13.2.1.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e^{2} s)))$

解题步骤 13.2.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (e^{2} t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

解题步骤 13.2.1.10

乘以 $0 (e^{2} t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s)$ 。

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解题步骤 13.2.1.10.1

将 $e^{2}$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

解题步骤 13.2.1.10.2

将 $t$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

解题步骤 13.2.1.10.3

将 $a^{2}$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

解题步骤 13.2.1.10.4

将 $n^{2}$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (l^{3} r^{2} u m b s))$

解题步骤 13.2.1.10.5

将 $l^{3}$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (r^{2} u m b s))$

解题步骤 13.2.1.10.6

将 $r^{2}$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (u m b s))$

解题步骤 13.2.1.10.7

将 $u$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (m b s))$

解题步骤 13.2.1.10.8

将 $m$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 (b s))$

解题步骤 13.2.1.10.9

将 $b$ 乘以 $0$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0 s)$

解题步骤 13.2.1.10.10

将 $0$ 乘以 $s$ 。

$y = \tan (4.93370342 + 0)$

解题步骤 13.2.2

将 $4.93370342$ 和 $0$ 相加。

$y = \tan (4.93370342)$

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