初级微积分示例

$x = 4 + 2 \cos (t)$ , $y = - 1 + 4 \sin (t)$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$x = 4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2

化简 $4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{(1 + \frac{y}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.4.2

在公分母上合并分子。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4 + 1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.4.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.4.4

运用分配律。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - \frac{y}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.4.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.4.6

在公分母上合并分子。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4 - 1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.4.7

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.5

在公分母上合并分子。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.6

在公分母上合并分子。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot \frac{- y + 3}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.7

将 $\frac{y + 5}{4}$ 乘以 $\frac{- y + 3}{4}$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{4 \cdot 4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.8

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.9

将 $\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))$ 。

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解题步骤 2.1.9.1

从 $(y + 5) (- y + 3)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.9.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.9.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.10

从根式下提出各项。

$x = 4 + 2 (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(y + 5) (- y + 3)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.11

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}$ 。

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{4})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.12.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 (2)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.12.2

约去公因数。

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 \cdot 2})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.1.12.3

重写表达式。

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.3

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{4 \cdot 2 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

初级微积分 示例

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