初级微积分示例

$\sin (x) = \frac{15}{17}$ , $\cos (2 x) = y$

Step 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{15}{17})$

Step 2

化简右边。

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计算 $\arcsin (\frac{15}{17})$ 。

$x = 1.080839$

Step 3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 1.080839$

Step 4

求解 $x$ 。

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去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 1.080839$

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 1.080839$

从 $3.14159265$ 中减去 $1.080839$ 。

$x = 2.06075365$

Step 5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

Step 6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.080839 + 2 π n, 2.06075365 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 7

将 $1.080839$ 和 $2 π n$ 重新排序。

$x = 2 π n + 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Step 8

求解 $n$ 的方程。

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化简每一项。

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运用分配律。

$(2 \cdot 2.06075365 + 2 (2 π n)) \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $2$ 乘以 $2.06075365$ 。

$(4.1215073 + 2 (2 π n)) \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4.1215073 + 4 (π n)) \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

运用分配律。

$4.1215073 n + 4 π n \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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移动 $n$ 。

$4.1215073 n + 4 π (n \cdot n) + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

化简每一项。

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运用分配律。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + (2 \cdot 2.06075365 + 2 (2 π n)) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $2$ 乘以 $2.06075365$ 。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + (4.1215073 + 2 (2 π n)) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + (4.1215073 + 4 (π n)) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

运用分配律。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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移动 $n$ 。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π (n \cdot n)$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

将所有包含 $n$ 的项移到等式左边。

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从等式两边同时减去 $4.1215073 n$ 。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4.1215073 n = 1.080839 + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

从等式两边同时减去 $4 π n^{2}$ 。

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4.1215073 n - 4 π n^{2} = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

合并 $4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4.1215073 n - 4 π n^{2}$ 中相反的项。

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从 $4.1215073 n$ 中减去 $4.1215073 n$ 。

$0 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4 π n^{2} = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

从 $4 π n^{2}$ 中减去 $4 π n^{2}$ 。

$0 n + 0 + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $0 n$ 和 $0$ 相加。

$0 n + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

$0 n + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $0$ 乘以 $n$ 。

$0 + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

将 $0$ 和 $1.080839$ 相加。

$1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

$1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

因为 $1.080839 = 1.080839$ ，所以方程将恒成立。

总为真

$2.06075365 + 2 π n$

总为真

$2.06075365 + 2 π n$

Step 9

该化简方程组是原方程组的任意解。

总为真

$2.06075365 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

初级微积分 示例

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